4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE CÁLCULO, FISICA, TRIGONOMETRIA, ESTADISTICAS DESARROLLADOS EN CLASE CON LOS PROFESORES RESPECTIVOS.

ejercicios propuestos

En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados  Weierstrass.

De manera informal el límite se define de la forma siguiente:  

DEFINICION DE LIMITE DE FD(x) EN INFORMAL

Sea f(x)  una función y a un número fijo.

Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número  c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).

Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.

Lo cual se representa de la siguiente forma:

   la sección de ejemplos  y ejercicios

Entonces podemos determinar los limites para algunas funciones.

Reformulación informal:

Una reformulación aun todavía informal es la siguiente:

Sean los números c y b, c<a<b, tales que f(x) está definida para todos los x en el intervalo (c,a) y  todos los x en el otro intervalo (a,b). Si x es suficientemente próximo a apero no exactamente a.

Definición precisa de    

1^ero   Existe   un número c tal que f(x) está definida para todo x>c

2 ^odo Para  toda solución E existe un número D tal que para todo x>D tal que para todo x>D se cumple f(x)>E

Ejemplos del uso de una definición precisa sobre el limite:

1.- Usando una definición precisa probar que

Solución:

Sea E cualquier número. Debemos probar que existe un D tal que siempre  x>D, se verifique 2x>E.  Que es el equivalente a decir que para todo número E, debemos probar que siempre se  cumple que f(x) >E , dado que x>D.

 Por ejemplo, si E=100, basta con  D=50. Como podemos darnos cuenta si x>50 entonces 2x>100. El número dependerá de E

Ahora bien la desigualdad 2x>E equivale a

En otras palabras, si

  

 entonces 2x>E.

  Luego                       sirve.

 Esto es, para x>D    (con    ), 2x>E. 

EJERCICIOS DE FISICA

La dependiente del tiempo, aceleracion y velocidad es esta:

x = xo + (Vo) *t + (1/2)*a*t^2

Donde xo: es la posicion inicial de partida
Vo: es la velocidad inicial de partida
t: El tiempo transcurrido en su movimiento
a: La aceleracion
Si se parte de un punto considerado por convencion como el origen 0, xo=0 Nos queda:

x=(Vo)*t +(1/2)*a*t^2

Si no hay aceleracion entonces a=0 y su movimiento es rectilineo uniforme (velocidad constante Vo=V) y su forma general es:

x =xo+ V*t

Si nuevamente consideramos que partimos de 0, xo=0 nos queda esta:

x=V*t